Reell analyse

Mål:

Emnet har som mål å løfte studenten opp på et nivå der det er mulig å gjøre enkle, men selvstendige resonnement om tema innen reell analyse.

Innhold:

Emnet tar utgangspunkt i det aksiomatiske grunnlaget for de reelle tallene. Deretter studeres begrepet tellbarhet for generelle mengder med anvendelser på reelle tall. Et sentralt tema er konvergensproblemer knyttet til følger og rekker av funksjoner. Et annet viktig område er topologiske egenskaper ved metriske rom. Emnet leder frem til Stone-Weierstrass setning, fikspunkt for kontraksjoner, samt egenskaper ved ekvikontinuerlige funksjonsfamilier.

Studenten skal ved avslutta emne ha følgjande læringsutbyte definert i kunnskapar, ferdigheiter og generell kompetanse:

Kunnskapar

Studenten

• kan beskrive grunnleggende egenskaper som skiller de reelle tallene fra rasjonale tall.
• beherskar definisjoner og begreper knyttet til metriske rom, så som kontinuitet, kompakthet, kompletthet og sammenhengende rom.

Ferdigheter

studenten

• kan avgjøre spørsmål omkring uniform konvergens av konkrete funksjonsfølger og rekker
• kan beskrive hovedideene i beviset for Stone-Weierstrass setning, kontraksjonsteoremet samt eksistens av konvergente delfølger ved bruk av ekvikontinuitet.

Generell kompetanse

studenten

• kan utføre og forstår enklere bevisføring.