Kommutativ algebra

Mål:

Emnet utviklar teorien for kommutative ringar. Desse er av fundamental betyding sidan geometriske og tallteoretiske idear skildrast algebraisk ved slike ringar.

Innhald:

Ein studerer ideal i kommutative ringar, kjedevilkår for ideal, lokalisering av kommutative ringar, modular over kommutative ringar og numeriske invariantar til kommutative ringar og modular. Viktige resultat omhandlar tensorproduktet og eksakte sekvensar av modular, noetherske ringar og Hilberts basisteorem, Nullstellensatz, Noether normalisering, og primærdekomposisjon av ideal. Ein utviklar og teorien for Gröbnerbasar, Hilbertrekkjer og Hilbertpolynom, og dimensjonsteori for lokale ringar.

Studenten skal ved avslutta emne ha følgjande læringsutbyte definert i kunnskapar, ferdigheiter og generell kompetanse:

Kunnskapar

Studenten..

• kan grunnleggjande definisjonar vedrørande element i ringar, klassar av ringar, og ideal i kommutative ringar.
• Kjenner konstruksjonar som tensorprodukt og lokalisering, og den grunnleggjande teorien for desse.
• Kan grunnleggjande teori for notherske ringar og Hilberts basisteorem.
• Kan grunnleggjande teori for algebraisk heilavhengnad, og noethers normaliseringslemma.
• Har innsikt i korrespondansen mellom ideal i polynomringar og dei korresponderande geometriske objekt: affine varietetar.
• Kan grunnleggjande teori for støtte til modular og assosierte primideal til modular, og kjenne til primærdekomposisjon av ideal i noetherske ringar.
• Kjenner teorien for Gröbnerbasar og Buchbergers algoritme.
• Kjenner teorien for Hilbertrekkjer og Hilbertpolynom.
• Kjenner dimensjonsteori for lokale ringar.

Ferdigheiter

Studenten..

• Kan nytte algebraisk verktøy som er viktig for mange problem og mykje teoriutvikling i algebra, algebraisk geometri, talteori og topologi.
• Har solid erfaring og trening i å resonnere med abstrakte og generelle algebraiske strukturar

Generell kompetanse

Studenten..

• Har innsikt i den viktigaste algebraiske teorien som nyttast i andre område i matematikken.
• Har innsikt i matematikken som nyttast i computer algebra.
• Sjå nytten av abstrakt teoriutvikling for å kunne sjå at vidt forskjellige delar av matematikken, som talteori og algebraisk geometri, kan skildrast i den same ramma.