Kompleks analyse

Mål

Emnet ønskjer å gjere studenten kjend med dei viktigaste eigenskapane og resultata om holomorfe funksjonar.

Innhald

Dette emnet tek for seg dei viktigaste eigenskapane til funksjonar av ein kompleks variabel. Ein funksjon blir kalla holomorf dersom han har ein kompleks deriverte på heile sitt definisjonsområde, noko som fører til ei rekkje overraskande eigenskapar. Mellom anna er ein holomorf funksjon fullstendig fastsett av verdiane sine på eit vilkårleg lite underområde, og han kan utviklast i ein Taylor-rekkje rundt kvart punkt.

Vi vil nytte desse eigenskapane til å rekne ut integral ved hjelp av residyrekning og utforske korleis vi kan deformere domene på ein måte som tek vare på vinklar – kjent som konforme avbildingar. I tillegg skal vi studere korleis rot- og logaritmefunksjonar for komplekse tal er fleirtydige funksjonar, og korleis vi kan innføre greinkutt for å gjere dei eintydige.

Studenten skal ved avslutta emne ha følgjande læringsutbyte definert i kunnskapar, ferdigheiter og generell kompetanse:

Kunnskapar:

Studenten

• skal kunne avgjere om ein funksjon er holomorf ved hjelp av Cauchy-Riemann-likningane.
• skal kjenne til Cauchys integralformel for holomorfe funksjonar og sambandet hennar til rekkjeutvikling.
• skal kjenne til og kunne bruke Taylor- og Laurent-utviklingar for holomorfe og meromorfe funksjonar, mellom anna for å løyse integral med residyrekning.
• skal kjenne til viktige funksjonar som eksponentialfunksjonen, logaritmefunksjonar, røter og trigonometriske funksjonar. Kjennskap inkluderer å forstå fleirtydige funksjonar og greinkutt.
• skal kjenne til bruksområde for holomorfe funksjonar, som for harmoniske funksjonar og Dirichlets problem.
• skal kjenne til sentrale resultat som algebraens fundamentalteorem, Liouvilles teorem om heile funksjonar og Riemanns avbildingsteorem.

Ferdigheiter:

Studenten

• meistrar grunnleggjande teknikkar innanfor kompleks analyse og komplekse integrasjon og korleis nytte desse i både teoretiske og anvende problemstillingar.
• kan argumentere matematisk og presentere bevis og resonnement.

Generell kompetanse:

Studenten

• kan arbeide sjølvstendig.
• kan formulere seg på ein presis og vitskapleg måte.
• kan bruke logisk tenking og avgjere om enkle matematiske argument er korrekte.