Algebraiske strukturar

Emnet gir en innføring i moderne algebraiske struk- turer som er utviklet særlig siden 1960-tallet. Disse studeres og brukes stadig mer i algebra, topologi og beregningsorientert matematikk. Kurset omhandler avanserte og moderne algebraiske strukturer. Kjernestoff vil være:

• Grunnleggende kategoriteori: Kategorier, funktorer, naturlige transformasjoner, adjunksjoner, frie konstruksjoner.
• Grunnleggende homologisk algebra: Kjedekomplekser, resolusjoner, homologi.
• Lie-algebraer og innhylningsalgebraer til Lie-algebraer,
• Hopf-algebraer og spesielt kombinatoriske Hopf-algebraer: Sym- metriske algebraer, tensoralgebraer, innhylningsalgebraer, Conne- Kreimer Hopf-algebraen samt andre grunnleggende Hopf-algebraer

Videre fokuseres på et utvalg av følgende temaer:

• Utdypende kategoriteori
• Utdypende homologisk algebra: Deriverte funktorer, homotopi, Ext­- og Tor-funktorer.
• Pre-Lie algebraer fra vektorfelter på Rn, frie pre-Lie algebraer, og deres innhylningsalgebraer,
• Eksakte løsninger av differensialligninger via Taylorutviklingen som en Butcher-rekker til et vektorfelt på Rn.

Studenten skal ved avslutta emne ha følgjande læringsutbyte definert i kunnskapar, ferdigheiter og generell

Kunnskapar

Studenten

• skal ha innsikt i viktige områder i utviklingen av moderne al- gebraiske strukturer de siste 50-60 årene.
• skal ha grunnleggende innsikt i kategoriteori, som et universelt rammeverk for strukturer i matematikk, informatikk og andre området
• skal ha grunnleggende innsikt i homologisk algebra, eit fundamentalt verktøy i algebra og topologi.
• skal kjenne til avanserte, rike og kompakte algebraiske strukturer som universelle innhylningsalgebraer til Lie-algebraer, og Hopf algebraer til kombinatoriske strukturer.
• skal kjenne til definisjoner og viktige egenskaper og hvordan algebraiske strukturer og metoder gir universelle verktøy til både teoretiske og beregningsmessige betraktinger i matematikk og til dels i informatikk.

Ferdigheter

Studenten

• kan nytte algebraisk verktøy som er viktig for mange problem og mykje teoriutvikling i algebra, topologi, differensialgeometri, diskret matematikk, beregningsmatematikk, og teoretisk informatikk.
• har solid erfaring og trening i å resonnere med abstrakte og generelle algebraiske strukturar

Generell kompetanse

Studenten

• har innsikt i viktig algebraisk teori og strukturar som nyttast i matematisk forskning.
• har innsikt i korleis forskjellige konkrete problem og strukturar kan skildrast ved særs generelt matematisk verktøy
• kan sjå nytten av abstrakt teoriutvikling som eit universelt språk felles for mange situasjonar.