Algebra, algebraisk geometri og topologi (AGATA)

Algebra springer ut fra studiet av ligninger og polynomer. Utifra dette har det oppstått et rikt utvalg av moderne algebraiske strukturer. Grupper, kropper, ringer og Lie-algebraer er blant de mest grunnleggende. Algebra blir særlig interessant når det vekselvirker med andre felter som kombinatorikk, topologi, geometri, beregningsmetoder eller fysikk.

I algebraisk geometri studeres geometriske objekter som har algebraisk struktur: kurver, flater og høyere dimensjonale mangfoldigheter som lokalt kan beskrives ved polynomligninger. Her er det et rikt samspill med moderne abstrakt algebra, topologi og kompleks analyse. Noen av problemstillingene er klassiske og går opptil to hundre år tilbake, mens andre er f.eks. relatert til problemer i moderne teoretisk fysikk.

Topologi er den matematiske læren om rom. Innen topologi er vi opptatt av symmetri og geometri. De objekter vi studerer kalles topologiske rom og omfatter alt som har noe geometrisk over seg. Hovedverktøyene til studiet av topologiske rom er algebra, geometri og kombinatorikk. En type topologiske rom som er relatert til fysiske teorier som relativitetsteori og strengteori er Riemannske mangfoldigheter. Dette er topologiske rom utstyrt med geometrisk struktur, der gir mening til begreper som avstand, vinkel og volum. Grovt sagt kan man si at det er rom det går an å leve i på samme måte som vi lever i et tre-dimensjonalt rom.